વિસ્તરણ કર્યા વગર સાબિત કરો કે $\Delta = \begin{vmatrix} x+y & y+z & z+x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$.

(A) નિશ્ચાયક $\Delta$ પર હાર પ્રક્રિયા $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2}$ લાગુ કરતા,આપણને મળે છે: $\Delta = \begin{vmatrix} x+y+z & x+y+z & x+y+z \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$.
$R_{1}$ માંથી $(x+y+z)$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે: $\Delta = (x+y+z) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$.
અહીં હાર $R_{1}$ અને હાર $R_{3}$ સમાન હોવાથી,નિશ્ચાયકના ગુણધર્મો મુજબ નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય છે. તેથી,$\Delta = (x+y+z) \times 0 = 0$.